ALCUNE LEZIONI DI MATEMATICA DEL SECONDO SUPERIORE

video con la spiegazione di alcune lezioni e di alcuni esercizi

Quando abbiamo una frazione tra due polinomi si parla di frazione algebrica.
Il polinomio al denominatore non può essere nullo.   Bisogna quindi trovare i valori in cui è diverso da zero (campo di esistenza o dominio)

Un polinomio può sempre essere visto come una frazione algebrica, ponendolo come numeratore di una frazione avente uno al denominatore.
Per poterci lavorare, in analogia con i numeri, dobbiamo introdurre il M.C.D. e il m.c.m. dei polinomi.

Può essere molto utile ricordare che lettere, insieme di lettere e parentesi, possono essere viste come dei numeri!

Se più polinomi sono divisibili per uno stesso polinomio, questo si chiama divisore comune

Il più grande dei divisori comuni si chiama Massimo Comun Divisore M.C.D.

Per trovarlo bisogna:

FRAZIONI ALGEBRICHE EQUIVALENTI E FRAZIONI IRRIDUCIBILI

RIDUZIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE ALLO STESSO DENOMINATORE

SOMMA DI FRAZIONI ALGEBRICHE

PRODOTTO DI FRAZIONI ALGEBRICHE

1. Si scompongono tutti i numeratori e tutti i denominatori
2. Si semplificano i fattori comuni che sono sia sui numeratori che sui denominatori
3. Si moltiplicano i numeratori tra di loro e i denominatori tra di loro

POTENZA DI FRAZIONI ALGEBRICHE

QUOZIENTE DI FRAZIONI ALGEBRICHE

1. Si scompongono i numeratori e i denominatori e si semplifica dove si può
2. Si trasforma la divisione in moltiplicazione invertendo il numeratore con il denominatore della seconda frazione algebrica
3. Si esegue il prodotto

ESPRESSIONE CON FRAZIONI ALGEBRICHE

1. Potenze
2. Moltiplicazioni e divisioni
3. Somme e sottrazioni

CONSIGLI PER IL COMPITO

Un altro errore frequente riguarda il cambio di segno di frazioni:

Le equazioni frazionarie si risolvono con la seguente procedura:

1. Si determinano le condizioni di esistenza
2. Tutte le frazioni vengono trasformate in equivalenti, con al denominatore il m.c.m. dei denominatori
3. Si elimina il denominatore, ricavando una equazione intera
4. Si risolve l'equazione, verificando se le soluzioni appartengono al dominio

Le equazioni frazionarie si risolvono con la seguente procedura:

INTRODUZIONE

METODO PER SOSTITUZIONE

1. Si esplicita una variabile in una equazione (cercate quella più comoda!)
2. Si sostituisce il valore trovato nelle altre equazioni, togliendo di fatto una variabile.
3. Si ripete l'operazione con le altre variabili fino ad arrivare ad una equazione con una sola incognita, che si determina
4. Si sostituisce il valore trovato nelle altre equazioni, che vengono quindi risolte

METODO DI RIDUZIONE

METODO DEL CONFRONTO

1. Si esplicita la stessa variabile in due equazioni
2. Si pone l'uguaglianza dei secondi membri e si sisolve l'equazione

METODO DI CRAMER

1. Si mettono le equazioni nella forma      ax+by+c=0      e      a₁x+b₁y+c₁=0
2. chiamo D = a·b₁- a₁·b      D_x = b₁·c- b·c₁      D_y = a·c₁- a₁·c
3. le soluzioni sono:     x = D_x / D          y = D_y / D

METODO CON MATRICE

1. Si ordinano le equazioni come in Cramer
2. Con i coefficienti così ricavati, si fanno tante righe quante sono le equazioni
3. Si combinano linearmente i coefficienti in modo da ridurre a zero la maggior parte di essi (escuso il termine noto)
4. Si rendono i coefficienti rimasti pari a 1 dividendoli per il loro valore (escuso il termine noto)
5. Il termine noto è il valore cercato della variabile

DALL'INSIEME N ALL'INSIEME Q

DALL'INSIEME Q ALL'INSIEME R

Si dice radice quadrata (aritmetica) di α ∈ ℝ il numero x ∈ ℝ ⁺ + { 0 } (reale positivo o nullo) che elevato al quadrato da α:      x ² = α    In simboli: $$ x = \sqrt{α}$$ Nota che x, se esiste, deve essere NON negativo per definizione (è una convenzione!)
Va detto esiste pure una definizione che tiene conto di entrambe le soluzioni ( sia positiva che negativa) nota come radice quadrata geometica, ma non la utilizziamo in questo contesto!

La radice quadrata esiste (ed è unica!) se α ∈ ℝ ⁺ + { 0 } , altrimenti NON esiste!

Si dice radice cubica di α ∈ ℝ il numero x ∈ ℝ che elevato alla terza da α:      x ³ = α

In simboli: $$ x =^3\sqrt{α}$$ La radice cubica esiste sempre ed è unica!

Per capire meglio le differenze tra le radici quadrate e cubiche tracciamo per punti i grafici delle loro funzioni, ricordando che le stesse differenze le troveremo tra le radici di indice pari e quelle di indice dispari.

Estendiamo quanto visto per le radici quadrate (indice pari) e per le radici cubiche (indice dispari).

Chiameremo il numero x (radice), la soluzione che verifica l'equazione: xⁿ = α   in simboli: $$ x = ^n\sqrt{α}$$

Dati un numero α ∈ ℝ (reale) che chiameremo radicando e un numero n ∈ ℕ - { 0 } (naturale diverso da zero) che chiameremo indice

• Se n è pari:
  
  • con α ∈ ℝ⁺ + { 0 } (reale positivo o nullo) ∃! x ∈ ℝ⁺ che verifica l'equazione: xⁿ = α
    
  • con α ∈ ℝ^- (reale negativo) ∄ x ∈ ℝ,


• Se n è dispari:
  
  • con α ∈ ℝ (reale) ∃ x ∈ ℝ, che verifica l'equazione: xⁿ = α
    

Partendo dalla proprietà che  a = b ⟷ aⁿ = bⁿ     vera solo per a e b NON negativi, possiamo dimostrare diverse proprietà.

Dati α ∈ ℝ ⁺ + { 0 } e n, m, p ∈ ℕ - { 0 } vale il teorema: $$ ^n\sqrt{α^m} = ^{np}\sqrt{α^{mp}}$$ Che, letta al contrario, porta alla semplificazione dei radicali (fino a renderli irriducibili).



Se α ∈ ℝ ^- e m·p pari risulta: $$ ^{np}\sqrt{α^{mp}} = ^n\sqrt{|α|^m}$$

RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE

Consideriamo a, b ∈ ℝ (reali) n ∈ ℕ - { 0 } (naturali con zero escluso).
Vale la relazione: $$ ^{n}\sqrt{a}·^{n}\sqrt{b} = ^n\sqrt{a·b}$$

Consideriamo a, b ∈ ℝ (reali) e b≠0   inoltre   n ∈ ℕ - { 0 } (naturali con zero escluso).
Vale la relazione: $$ \frac{^{n}\sqrt{a}}{^{n}\sqrt{b}} = ^n\sqrt{\frac{a}{b}}$$

Consideriamo a, b ∈ ℝ (reali)   inoltre   n, m ∈ ℕ - { 0 } (naturali con zero escluso).
Valgono le relazioni: $$ {(^{n}\sqrt{a})^m}= {^{n}\sqrt{a^m}}$$ $$ {^{m}\sqrt{^{n}\sqrt{a}}}= {^{n}\sqrt{^{m}\sqrt{a}}} = {^{nm}\sqrt{a}}$$

La somma (o sottrazione) di due radicali è possibile quando sono simili, ovvero hanno la stessa radice.

Si procede nel seguente modo:

Razionalizzare il denominatore significa trasformare la frazione in una che non ha radici al denominatore.
Distinguiamo due casi:

Si risolvono con le seguenti formule: $$ {\sqrt{a+\sqrt{b}}} = {\sqrt\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+{\sqrt\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $$ $$ {\sqrt{a-\sqrt{b}}} = {\sqrt\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-{\sqrt\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $$
Nel video a lato vi è la dimostrazione:

Quando il radicando appartiene sempre ai reali (a ∈ ℝ), si parla di radicali algebrici.
Le soluzioni possono essere:

Data a ∈ ℝ ⁺ + { 0 } e una frazione n/m, la potenza a^m/n è la radice ennesima di aⁿ $$ {a^{\frac{m}{n}}} = {^{n}\sqrt{a^m}} $$

Una retta con una origine, un verso e una unità di misura, è chiamata retta orientata.

Ad essa associamo dei segmenti con un estremo nell'origine; l'altro estremo è l'ascissa.
Se l'ascissa è a sinistra, assume valore negativo.

Si osservi che con l'ascissa possiamo indicare un punto della retta, oppure il segmento che unisce l'origine con il punto.

DISTANZA TRA DUE PUNTI SU UNA RETTA ORIENTATA

IL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

IL PIANO CARTESIANO

DISTANZA TRA DUE PUNTI SUL PIANO CARTESIANO

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO SUL PIANO CARTESIANO

INTRODUZIONE ALLE FUNZIONI E ALLA LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

LA RETTA SUL PIANO CARTESIANO

LA RETTA PER L'ORIGINE

LA PENDENZA

La pendenza ci permette di disegnare molto rapidamente una retta, perchè, preso un suo punto, basta spostarsi di una unità lungo x e spostarsi verticalmente di m per trovare un secondo punto.

La pendenza ci indica l'inclinazione di una retta, ma non in modo semplice, perchè se raddoppio m non raddoppia l'angolo.
Molto interessante, nel video, è il goniometro che ci indica la pendenza al variare dell'angolo.

LA RETTA NON PASSANTE PER L'ORIGINE

EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA

RETTA PER UN PUNTO

RETTA PER DUE PUNTI

RETTE PARALLELE

RETTE PERPENDICOLARI

INTERSEZIONI TRA RETTE

DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA